Бекжан Бапышев Шығыс Қазақстан облысында дүниеге келген. 2011 жылы ол С. Аманжолов атындағы Шығыс Қазақстан университетін «Құқықтану» мамандығы бойынша бітірді, ал 2024 жылы Қазақстан Республикасы Президентінің жанындағы Мемлекеттік басқару академиясында «Мемлекеттік саясат» мамандығы бойынша магистр дәрежесін алды.
Бапышев еңбек жолын Астана қаласы Алматы ауданы әкімі аппаратында бастады. 2013 жылдан 2015 жылға дейін Сарыарка ауданы әкімі аппаратының өндірістік-техникалық қамтамасыз ету, тіршілікті қамтамасыз ету және инфрақұрылым бөлімдерінде бас маман болып жұмыс істеді. 2015–2016 жылдары Алматы ауданында мүлікті заңдастыру жөніндегі комиссия жұмысына қатысты, кейін техника, бас маман және өндірістік-техникалық бөлім басшысы лауазымдарын атқарды.
Әр жылдары ол Астана қаласы Есіл ауданында инфрақұрылым бөлімін, Алматы ауданында абаттандыру және өндірістік-техникалық қамтамасыз ету бөлімін басқарды, сондай-ақ Алматы ауданы әкімінің орынбасары болып жұмыс істеді. 2025 жылдан 2026 жылға дейін Бапышев Семей қаласы әкімінің орынбасары қызметін атқарды, алты ай бойы қала әкімінің міндетін атқарды және Абай облысы Құрылыс басқармасын басқарды.
Тағайындалғанға дейін ол Абай облысы Туризм басқармасын басқарды.